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高等数学 · 函数、极限与导数

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函数6极限6无穷小与准则10连续5导数12函数与映射 → 定义域与值域：理解“定义域与值域”前先理解“函数与映射”。定义域与值域 → 函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性：理解“函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性”前先理解“定义域与值域”。定义域与值域 → 反函数：理解“反函数”前先理解“定义域与值域”。定义域与值域 → 复合函数：理解“复合函数”前先理解“定义域与值域”。函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性 → 基本初等函数与初等函数：理解“基本初等函数与初等函数”前先理解“函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性”。复合函数 → 基本初等函数与初等函数：理解“基本初等函数与初等函数”前先理解“复合函数”。函数与映射 → 数列极限：理解“数列极限”前先理解“函数与映射”。函数与映射 → 函数极限：理解“函数极限”前先理解“函数与映射”。函数极限 → 左极限与右极限：理解“左极限与右极限”前先理解“函数极限”。函数极限 → 极限的唯一性、有界性与保号性：理解“极限的唯一性、有界性与保号性”前先理解“函数极限”。数列极限 → 极限的唯一性、有界性与保号性：理解“极限的唯一性、有界性与保号性”前先理解“数列极限”。极限的唯一性、有界性与保号性 → 极限的四则运算法则：理解“极限的四则运算法则”前先理解“极限的唯一性、有界性与保号性”。函数极限 → 无穷小：理解“无穷小”前先理解“函数极限”。无穷小 → 无穷大与无穷小的关系：理解“无穷大与无穷小的关系”前先理解“无穷小”。无穷小 → 无穷小的运算性质：理解“无穷小的运算性质”前先理解“无穷小”。函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性 → 无穷小的运算性质：理解“无穷小的运算性质”前先理解“函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性”。极限的唯一性、有界性与保号性 → 夹逼准则：理解“夹逼准则”前先理解“极限的唯一性、有界性与保号性”。数列极限 → 单调有界原理：理解“单调有界原理”前先理解“数列极限”。函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性 → 单调有界原理：理解“单调有界原理”前先理解“函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性”。夹逼准则 → 第一个重要极限：理解“第一个重要极限”前先理解“夹逼准则”。基本初等函数与初等函数 → 第一个重要极限：理解“第一个重要极限”前先理解“基本初等函数与初等函数”。单调有界原理 → 第二个重要极限：理解“第二个重要极限”前先理解“单调有界原理”。基本初等函数与初等函数 → 第二个重要极限：理解“第二个重要极限”前先理解“基本初等函数与初等函数”。无穷小 → 无穷小的阶与比较：理解“无穷小的阶与比较”前先理解“无穷小”。极限的四则运算法则 → 无穷小的阶与比较：理解“无穷小的阶与比较”前先理解“极限的四则运算法则”。无穷小的阶与比较 → 等价无穷小：理解“等价无穷小”前先理解“无穷小的阶与比较”。第一个重要极限 → 等价无穷小：理解“等价无穷小”前先理解“第一个重要极限”。第二个重要极限 → 等价无穷小：理解“等价无穷小”前先理解“第二个重要极限”。等价无穷小 → 等价无穷小代换求极限：理解“等价无穷小代换求极限”前先理解“等价无穷小”。极限的四则运算法则 → 等价无穷小代换求极限：理解“等价无穷小代换求极限”前先理解“极限的四则运算法则”。极限的四则运算法则 → 求极限的代数化简与方法选择：理解“求极限的代数化简与方法选择”前先理解“极限的四则运算法则”。函数极限 → 函数在一点连续：理解“函数在一点连续”前先理解“函数极限”。左极限与右极限 → 函数在一点连续：理解“函数在一点连续”前先理解“左极限与右极限”。函数在一点连续 → 间断点及其分类：理解“间断点及其分类”前先理解“函数在一点连续”。函数在一点连续 → 连续函数的运算与初等函数连续性：理解“连续函数的运算与初等函数连续性”前先理解“函数在一点连续”。复合函数 → 连续函数的运算与初等函数连续性：理解“连续函数的运算与初等函数连续性”前先理解“复合函数”。基本初等函数与初等函数 → 连续函数的运算与初等函数连续性：理解“连续函数的运算与初等函数连续性”前先理解“基本初等函数与初等函数”。函数在一点连续 → 闭区间连续函数的有界性与最值：理解“闭区间连续函数的有界性与最值”前先理解“函数在一点连续”。函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性 → 闭区间连续函数的有界性与最值：理解“闭区间连续函数的有界性与最值”前先理解“函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性”。闭区间连续函数的有界性与最值 → 介值定理与零点定理：理解“介值定理与零点定理”前先理解“闭区间连续函数的有界性与最值”。函数极限 → 导数的定义：理解“导数的定义”前先理解“函数极限”。极限的四则运算法则 → 导数的定义：理解“导数的定义”前先理解“极限的四则运算法则”。导数的定义 → 导数的几何意义与切线：理解“导数的几何意义与切线”前先理解“导数的定义”。导数的定义 → 左右导数与分段函数可导性：理解“左右导数与分段函数可导性”前先理解“导数的定义”。左极限与右极限 → 左右导数与分段函数可导性：理解“左右导数与分段函数可导性”前先理解“左极限与右极限”。函数在一点连续 → 可导与连续的关系：理解“可导与连续的关系”前先理解“函数在一点连续”。左右导数与分段函数可导性 → 可导与连续的关系：理解“可导与连续的关系”前先理解“左右导数与分段函数可导性”。导数的定义 → 基本初等函数的导数：理解“基本初等函数的导数”前先理解“导数的定义”。基本初等函数与初等函数 → 基本初等函数的导数：理解“基本初等函数的导数”前先理解“基本初等函数与初等函数”。基本初等函数的导数 → 导数的四则运算法则：理解“导数的四则运算法则”前先理解“基本初等函数的导数”。复合函数 → 复合函数求导与链式法则：理解“复合函数求导与链式法则”前先理解“复合函数”。基本初等函数的导数 → 复合函数求导与链式法则：理解“复合函数求导与链式法则”前先理解“基本初等函数的导数”。反函数 → 反函数求导：理解“反函数求导”前先理解“反函数”。导数的定义 → 反函数求导：理解“反函数求导”前先理解“导数的定义”。导数的四则运算法则 → 高阶导数：理解“高阶导数”前先理解“导数的四则运算法则”。复合函数求导与链式法则 → 高阶导数：理解“高阶导数”前先理解“复合函数求导与链式法则”。复合函数求导与链式法则 → 隐函数求导：理解“隐函数求导”前先理解“复合函数求导与链式法则”。导数的四则运算法则 → 隐函数求导：理解“隐函数求导”前先理解“导数的四则运算法则”。隐函数求导 → 对数求导法：理解“对数求导法”前先理解“隐函数求导”。基本初等函数的导数 → 对数求导法：理解“对数求导法”前先理解“基本初等函数的导数”。复合函数求导与链式法则 → 参数方程求导：理解“参数方程求导”前先理解“复合函数求导与链式法则”。高阶导数 → 参数方程求导：理解“参数方程求导”前先理解“高阶导数”。数列极限 → 函数极限：数列极限与函数极限都用邻近性描述趋近行为，但自变量的取值方式不同。无穷大与无穷小的关系 → 函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性：区分无界与趋于无穷大，防止混淆整体范围与趋近趋势。第一个重要极限 → 等价无穷小代换求极限：正弦等价式可简化零点附近的乘除型极限。第二个重要极限 → 等价无穷小：理解指数、对数在零点附近的等价形式。夹逼准则 → 求极限的代数化简与方法选择：遇到振荡项、和式或难以直接化简的表达式时可构造上下界。等价无穷小代换求极限 → 求极限的代数化简与方法选择：乘除型未定式可以考虑等价因子代换。连续函数的运算与初等函数连续性 → 求极限的代数化简与方法选择：确认连续性后可直接代入计算极限。函数极限 → 导数的定义：导数是差商的极限，把极限方法用于瞬时变化率。函数在一点连续 → 导数的定义：一点可导必连续，连续却不必可导。函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性 → 介值定理与零点定理：零点存在性结合严格单调性，可以进一步判断零点唯一性。复合函数求导与链式法则 → 隐函数求导：隐函数方程中的 y 被视为 x 的函数，需要链式求导。复合函数求导与链式法则 → 参数方程求导：通过参数作为中间变量转换导数。函数与映射函数与映射：函数把定义域中的每一个自变量，按确定规则对应到唯一的函数值。判断两个函数是否相同，要同时检查定义域和对应法则。定义域与值域定义域与值域：定义域是允许输入的集合，值域是函数实际能输出的集合。求自然定义域时同时检查分母、偶次根式、对数等限制。函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性：这些性质从整体上描述函数。单调性必须指定区间，奇偶性要求定义域关于原点对称，周期性要求存在非零周期并满足定义域条件。反函数反函数：当对应关系在原定义域上一一对应时，可以把输出作为输入反求原输入。反函数的定义域是原函数的值域。复合函数复合函数：先用内层函数计算中间变量，再代入外层函数。内层函数的输出必须落在外层函数的定义域内。基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数：熟悉幂、指数、对数、三角和反三角函数的定义域、图像与性质。初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合构成。数列极限数列极限：数列收敛于某个数，表示项数足够大后，后续所有项都能任意接近这个数。极限描述整体尾部行为，不要求某一项等于极限。函数极限函数极限：函数极限研究自变量趋于某点或无穷远时的函数值趋势。趋于有限点时通常排除该点本身，极限可以与该点的函数值无关。左极限与右极限左极限与右极限：左极限和右极限分别限制自变量从一侧趋近。两侧都有定义的情形下，双侧有限极限存在，当且仅当左右有限极限存在且相等。极限的唯一性、有界性与保号性极限的唯一性、有界性与保号性：有限极限具有唯一性，并带来相应邻域或数列尾部的有界性。极限非零时，函数或数列在足够接近的范围内与极限同号。极限的四则运算法则极限的四则运算法则：各部分极限存在且为有限数时，可以交换有限次和、差、积与取极限的次序。商法则还要求分母的极限不为零。求极限的代数化简与方法选择求极限的代数化简与方法选择：先识别直接代入的结果和未定式结构，再选择约分、有理化、夹逼或等价代换。改变表达式时保留趋近点附近的有效定义域。无穷小无穷小：在指定自变量趋近过程中，极限为零的变量叫作无穷小。讨论无穷小时必须说明变化过程。无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系：无穷大表示绝对值无限增大，不是某个实数。对最终非零的函数，绝对值趋于无穷大与倒数趋于零相对应。无穷小的运算性质无穷小的运算性质：有限个无穷小之和仍是无穷小；有界变量与无穷小之积仍是无穷小。判断乘积时先分清有界性和趋零性。夹逼准则夹逼准则：当一个变量最终夹在两个具有相同极限的变量之间时，它也趋于该极限。关键是建立有效的不等式并确认上下界趋于同一值。单调有界原理单调有界原理：单调递增且有上界的数列、单调递减且有下界的数列都收敛。递推数列通常先证明单调性和有界性，再用递推关系求极限。第一个重要极限第一个重要极限：正弦与自变量在零附近具有相同的一阶变化。使用时需把内部变量化到趋于零，角度采用弧度制。第二个重要极限第二个重要极限：第二个重要极限刻画自然常数 e。处理一般底数趋于 1 的幂式时，检查底数正性，并把指数与底数偏差配对。无穷小的阶与比较无穷小的阶与比较：在同一个趋近过程中，通过两个无穷小的比值比较它们趋零的速度。比值趋零表示分子是分母的高阶无穷小。等价无穷小等价无穷小：两个无穷小的比值趋于 1 时称为等价。常见等价式都带有变量趋于零这一前提。等价无穷小代换求极限等价无穷小代换求极限：在乘除结构中用等价无穷小替换相应因子，可以简化极限。加减结构存在抵消时，应先分析整体阶数。函数在一点连续函数在一点连续：一点连续要求该点有定义、该点极限存在，并且极限等于函数值。也可以用自变量增量趋零时函数增量趋零来表述。间断点及其分类间断点及其分类：先检查左右有限极限是否存在。两侧有限极限相等但与点值不符或点值缺失，是可去间断；两侧有限极限不等，是跳跃间断。其余按具体情况判断第二类间断。连续函数的运算与初等函数连续性连续函数的运算与初等函数连续性：连续性在适当条件下对有限次四则运算和函数复合保持。初等函数在其定义区间内连续，因此可在适用范围直接代入求极限。闭区间连续函数的有界性与最值闭区间连续函数的有界性与最值：在闭的有限区间上连续的实函数必有界，并且能取得最大值与最小值。闭区间与连续性共同提供结论保障。介值定理与零点定理介值定理与零点定理：闭区间连续函数能取到端点函数值之间的每个值。特别地，若端点函数值异号，则开区间内至少存在一个零点。导数的定义导数的定义：导数是函数增量与自变量增量之比的极限，描述局部瞬时变化率。判断在一点可导时，需要差商的有限极限存在。导数的几何意义与切线导数的几何意义与切线：有限导数给出曲线在该点的切线斜率。先确认切点坐标与可导性，再用点斜式写切线；非零斜率时可求法线斜率。左右导数与分段函数可导性左右导数与分段函数可导性：在内部点可导等价于左右导数都存在且相等。分段函数在分界点应从差商定义出发，使用分界点的实际函数值。可导与连续的关系可导与连续的关系：在一点可导必定在该点连续，反过来不成立。绝对值函数在零点连续，但左右导数不同。基本初等函数的导数基本初等函数的导数：掌握基本函数的求导公式并注意适用定义域。复合表达式不能只套外层公式，还要考虑内层变化。导数的四则运算法则导数的四则运算法则：和差逐项求导；乘积求导需要分别求导后相加；商求导还要检查分母不为零。复合函数求导与链式法则复合函数求导与链式法则：从外向内逐层求导，再把各层导数相乘。写出中间变量可以帮助检查复合层次和遗漏的因子。反函数求导反函数求导：在满足反函数求导定理的条件且原函数导数非零时，反函数的导数等于相应原函数导数的倒数。高阶导数高阶导数：对导函数继续求导得到高阶导数。求 n 阶导数时，先观察结构并提出通项，再用归纳等方式验证适用阶数。隐函数求导隐函数求导：把 y 视为 x 的函数，对方程两边关于 x 求导，含 y 的项使用链式法则，最后整理出 y 的导数。对数求导法对数求导法：对乘除和幂结构，先在适用区间取对数，把运算化简后求导。幂指函数可以先写成指数形式。参数方程求导参数方程求导：当 x 和 y 都由参数 t 给出且 x 对参数的导数非零时，y 对 x 的导数是两者对参数导数的比。
前置关联应用拖动画布 · 滚轮缩放
函数 · 3 条直接联系

函数与映射

函数把定义域中的每一个自变量，按确定规则对应到唯一的函数值。判断两个函数是否相同，要同时检查定义域和对应法则。

知识点精讲 ↗
专项练习 · 从卡点到掌握

根据错因与知识点出题

结合真实学习记录设计新题，也可以直接指定想练的知识点。

参考题目
本次出题依据

先填写知识点或选择参考题目；系统会展示实际使用的题目。

先独立作答，再检查思路与讲解。
围绕一个具体卡点，练得更有针对性

没有历史错题也能出题；填写知识点即可开始。

开始作答后会在主页面新建一段问答对话。只根据你的实际作答更新错因，生成题目本身不会计为错误记录。